Eine Hundeführerschein gibt es eigentlich gar nicht. Es gibt eine Sachkunde. Da du gewerblich Hunde ausführst/ betreust, denke ich mal das du eine Sachkundenachweis erbringen musst.
Sofern das Tierschutzgesetz hier nichts explizit regeln sollte, kann es im jeweiligen Hundegesetz/ Verordnung der Bundesländer geregelt sein. Dazu wendest du dich am besten an der für deinen Wohnort zuständigen Behörde. Meist Veterinäramt.
Ich würde auch meinen, dass ein Sachkundenachweis notwendig ist, aber am besten informierst du dich wie bereits von Andreas geschrieben, bei den zuständigen Behörden. Bitte halte uns am Laufenden, welche Antwort du von diesen bekommst.